Nacido en New Westminster, Columbia Británica. Vivió en Maple Ridge, un suburbio de Vancouver, asistiendo a la escuela de Meadowridge y graduándose en la Escuela Secundaria de Pitt Meadows.
Su carrera deportiva había progresado a través de go-karts, ganando el Campeonato de Kart de Enduro de América del Norte en 1989 y 1990. Moore también jugó hockey sobre hielo mientras crecía en los alrededores de Vancouver. Jugó en el mismo equipo de la futura estrella de aquel deporte, Paul Kariya.
A pesar de que era muy fan del hockey, finalmente se inclinó a la Fórmula Ford de automóviles en 1991, siendo nombrado el Novato del Año en la Esso Protec de Fórmula Ford 1600 tras ganar una carrera y colocarse cuarto en el campeonato general. En 1992, Greg ganó cuatro carreras y tuvo cuatro pole positions. Se coronó campeón de la USAC Formula 2000 West y también fue el Novato del Año.
Al año siguiente, Greg comenzó a correr en el circuito de Indy Lights. A pesar de correr con una infra-financiación, el equipo de gestión familiar terminó en la novena ubicación del campeonato Indy Lights de 1993. A la edad de 18 años, Greg se convirtió en el piloto más joven en ganar una carrera CART cuando ganó la temporada de 1994 Indy Lights-opener en Phoenix. Ganó tres carreras Lights en 1994 y terminó tercero en el campeonato.
Greg se unió al equipo del Player’s Forsythe Racing y ganó el campeonato Indy Lights de 1995 con una temporada espectacular récord que lo vio ganar 10 de las 12 carreras, incluyendo 5 consecutivas.
A la edad de 20 años, Greg debutó en CART, cuando el equipo del jugador Forsythe Racing lo ascendió a la serie de nivel superior. Su temporada de novato incluyó un segundo puesto en Nazaret, en tercer lugar en Cleveland y el cuarto en Toronto. Greg terminó noveno en la clasificación con 84 puntos y fue segundo por detrás de Alex Zanardi para el premio Jim Truman de la concesión para el novato del año.
En 1997 por fin ganaría una carrera disputándola en la séptima fecha en Milwaukee, venciendo a Michael Andretti por un segundo en un dramático final, convirtiéndose en el piloto ganador más joven con 22 años. Siete días después, Greg conseguiría su segunda victoria de su carrera en otra carrera emocionante y dramática en Detroit, donde Greg comenzó la última vuelta en el 3er lugar, pero logró superar los dos coches de la PacWest Racing cuando ambos pilotos, Maurício Gugelmin y Mark Blundell, se quedaron sin combustible en la recta final. Al final, Moore terminaría la temporada en el séptimo lugar con 111 puntos.
Al comienzo de la temporada de 1998 por primera vez fue emparejado con un compañero de equipo que fue el canadiense Patrick Carpentier y comenzó el año con fuerza, con tres top 5 en las primeras 4 carreras. En la quinta carrera luchó y ganó duramente en la pista de Río frente a Alex Zanardi, y durante esa temporada gano la US 500 de la Copa Vanderbilt. Esta victoria se vio empañada por la muerte de tres espectadores en un incidente anterior en la que un neumático voló sobre la valla protectora y se fue a las gradas. Al igual que en 1997, la temporada de Moore finalizó en una serie de retiros en la cual terminó el año solamente en el quinto puesto de la general con 141 puntos.
La temporada 1999 fue la de su mejor inicio al ganar la primera carrera en Homestead. Sin embargo, sería la última victoria que conseguiría ya que tuvo un modesto desempeño quedando fuera del campeonato y terminando su último año de contrato con su equipo de Player's-Forsythe. El Marlboro 500 fue escenario de la última carrera de la CART de aquel año y estaba prevista para la última carrera de Moore con el equipo de carreras de Forsythe debido al acuerdo que tuvo con Penske Racing que entraba en vigor en el año 2000. También fue una lucha por el título, decidiendo entre el colombiano Juan Pablo Montoya y el escocés Dario Franchitti. En la novena vuelta de la carrera, Moore, aparentemente perdió el control de su coche en la salida de la curva 2 y giró en el césped del cuadro a más de 200 kilómetros por hora. Su coche chocó contra una pared de hormigón a una velocidad sin cesar. Sufrió traumas graves en el cerebro, cuello y otras lesiones internas. La carrera continuó con el piloto mexicano Adrián Fernández quedándose con el primer puesto, mientras que Franchitti y Montoya empataron en puntos el campeonato pero declarando ganador al colombiano gracias a sus 7 victorias conseguidas en la temporada contra 3 del escocés. Greg fue declarado muerto (tenía 24 años) antes del final de la carrera, y al enterarse de esto, la CART ordenó la cancelación de las celebraciones de la victoria, ya sea para la carrera como para el campeonato.

Autor: Darío Serna.